小学数学奥林匹克辅导及练习容斥原理(二)(含答案)-

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2020年05月26日 23:23
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小学奥林匹克英语试题


容斥原理(二)
【例题分析】

例1. 有25人参加跳远达标赛,每人跳三次,每人至少有一次达
到优秀。第一次达到优秀的有10人,第二次达到优秀的有13人,
第三次达到优秀的有15人,三次都达到优秀的只有1人。只有两次
达到优秀的有多少人?
分析与解:“每人至少有一次达到优秀”说明没有三次都没达
到优秀的。要求只有两次达到优秀的人数,就是求重叠两层的部分
(图中阴影部分)。

101315251211
(人)
答:只有两次达到优秀的有11人。
例2. 在一个炎热的夏日,几个小朋友去冷饮店,每人至少要了
一样冷饮,其中有6人要了冰棍,6人要了汽水,4人要了雪碧,只
要冰棍和汽水的有3人,只要冰棍和雪碧的没有,只要汽水和雪碧
的有1人;三样都要的有1人。问:共有几个小朋友去了冷饮店?
分析与解:根据题意画图。
方法一:
664(31)(01)(11)110
(人)
方法二:
664311210
(人)
答:共有10个小朋友去了冷饮店。


例3. 有28人参加田径运动会,每人至少参加两项比赛。已知有
8人没参加跑的项目,参加投掷项目的人数与参加跑和跳两项的人
数都是17人。问:只参加跑和投掷两项的有多少人?
分析与解:“每人至少参加两项比赛”说明没有不参加的,也
没有参加一项比赛的,我们可以在下图中参加一项的区域用0表示。

281783
(人)
答:只参加跑和投掷两项的有3人。
例4. 某校六年级二班有49人参加了数学、英语、语文学习小组,
其中数学有30人参加,英语有20人参加,语文小组有10人。老师
告诉同学既参加数学小组又参加语文小组的有3人,既参加数学又
参加英语和既参加英语又参加语文的人数均为质数,而三种全参加
的只有1人,求既参加英语又参加数学小组的人数。
分析与解:根据已知条件画出图。
三圆盖住的总体为49人,假设既参加数学又参加英语的有x人,
既参加语文又参加英语的有y人,可以列出这样的方程:
302010xy3149

整理后得:
xy9

由于x、y均为质数,因而这两个质数中必有一个偶质数2,另
一个质数为7。


答:既参加英语又参加数学小组的为2人或7人。
例5. 某班同学参加升学考试,得满分的人数如下:数学20人,
语文20人,英语20人,数学、英语两科满分者8人,数学、语文
两科满分者7人,语文、英语两科满分者9人,三科都没得满分者
3人。问这个班最多多少人?最少多少人?
分析与解:根据题意画图。
设三科都得满分者为x
全班人数
202020789x3

整理后:全班人数=39+x
39+x表示全班人数,当x取最大值时,全班人数就最多,当x
取最小值时,全班人数就最少。x是数学、语文、英语三科都得满
分的同学,因而x中的人数一定不超过两科得满分的人数,即
x7,x8

x9
,由此我们得到
x7
。另一方面x最小可能是0,
即没有三科都得满分的。
当x取最大值7时,全班有
(397)46
人,当x取最小值0时,
全班有
(390)
39人。
答:这个班最多有46人,最少有39人。
【模拟试题】(答题时间:30分钟)


1. 六年级共有96人,两种刊物每人至少订其中一种,有的人
订《少年报》,有的人订《数学报》,两种刊物都订的有多少人?
2. 小明和小龙两家合住一套房子,门厅、厨房和厕所为公用,在
登记住房面积时,两家登记表如下表(单位:平方米)
姓名
小明
小龙
居室
14
20
门厅
12
12
厨房
8
8
厕所
4
4
总面积
38
44
1
2
2
3
他们住的一套房子共有多少平方米?
3. 某班45名同学参加体育测试,其中百米得优者20人,跳远得
优者18人,又知百米、跳远都得优者7人,跳高、百米得优者6人,
跳高、跳远均得优者8人,跳高得优者22人,全班只有1名同学各
项都没达优秀,求三项都是优秀的人数。
4. 某班四年级时,五年级时和六年级时分别评出10名三好学生,
又知四、五年级连续三好生4人,五、六年级连续三好生3人,四
年级、六年级两年评上三好生的有5人,四、五、六三年没评过三
好生的有20人,问这个班最多有多少名同学,最少有多少名同学?


【试题答案】

1. 六年级共有96人,两种刊物每人至少订其中一种,有的人
订《少年报》,有的人订《数学报》,两种刊物都订的有多少人?
答:两种刊物都订的有16人。
2. 小明和小龙两家合住一套房子,门厅、厨房和厕所为公用,在
登记住房面积时,两家登记表如下表(单位:平方米)
姓名
小明
小龙
居室
14
20
门厅
12
12
厨房
8
8
厕所
4
4
总面积
38
44
1
2
2
3
他们住的一套房子共有多少平方米?
答:这套房子共有58平方米。
3. 某班45名同学参加体育测试,其中百米得优者20人,跳远得
优者18人,又知百米、跳远都得优者7人,跳高、百米得优者6人,
跳高、跳远均得优者8人,跳高得优者22人,全班只有1名同学各
项都没达优秀,求三项都是优秀的人数。
4. 某班四年级时,五年级时和六年级时分别评出10名三好学生,
又知四、五年级连续三好生4人,五、六年级连续三好生3人,四
年级、六年级两年评上三好生的有5人,四、五、六三年没评过三
好生的有20人,问这个班最多有多少名同学,最少有多少名同学?


设三年连续三好生人数为x人
全班人数
103543x20

……
全班人数
38x

x最大是3,最小是0
所以这个班最多有
(383)41
名同学,最少有
(380)
38名同学。


容斥原理(二)
【例题分析】

例1. 有25人参加跳远达标赛,每人跳三次,每人至少有一次达
到优秀。第一次达到优秀的有10人,第二次达到优秀的有13人,
第三次达到优秀的有15人,三次都达到优秀的只有1人。只有两次
达到优秀的有多少人?
分析与解:“每人至少有一次达到优秀”说明没有三次都没达
到优秀的。要求只有两次达到优秀的人数,就是求重叠两层的部分
(图中阴影部分)。

101315251211
(人)
答:只有两次达到优秀的有11人。
例2. 在一个炎热的夏日,几个小朋友去冷饮店,每人至少要了
一样冷饮,其中有6人要了冰棍,6人要了汽水,4人要了雪碧,只
要冰棍和汽水的有3人,只要冰棍和雪碧的没有,只要汽水和雪碧
的有1人;三样都要的有1人。问:共有几个小朋友去了冷饮店?
分析与解:根据题意画图。
方法一:
664(31)(01)(11)110
(人)
方法二:
664311210
(人)
答:共有10个小朋友去了冷饮店。


例3. 有28人参加田径运动会,每人至少参加两项比赛。已知有
8人没参加跑的项目,参加投掷项目的人数与参加跑和跳两项的人
数都是17人。问:只参加跑和投掷两项的有多少人?
分析与解:“每人至少参加两项比赛”说明没有不参加的,也
没有参加一项比赛的,我们可以在下图中参加一项的区域用0表示。

281783
(人)
答:只参加跑和投掷两项的有3人。
例4. 某校六年级二班有49人参加了数学、英语、语文学习小组,
其中数学有30人参加,英语有20人参加,语文小组有10人。老师
告诉同学既参加数学小组又参加语文小组的有3人,既参加数学又
参加英语和既参加英语又参加语文的人数均为质数,而三种全参加
的只有1人,求既参加英语又参加数学小组的人数。
分析与解:根据已知条件画出图。
三圆盖住的总体为49人,假设既参加数学又参加英语的有x人,
既参加语文又参加英语的有y人,可以列出这样的方程:
302010xy3149

整理后得:
xy9

由于x、y均为质数,因而这两个质数中必有一个偶质数2,另
一个质数为7。


答:既参加英语又参加数学小组的为2人或7人。
例5. 某班同学参加升学考试,得满分的人数如下:数学20人,
语文20人,英语20人,数学、英语两科满分者8人,数学、语文
两科满分者7人,语文、英语两科满分者9人,三科都没得满分者
3人。问这个班最多多少人?最少多少人?
分析与解:根据题意画图。
设三科都得满分者为x
全班人数
202020789x3

整理后:全班人数=39+x
39+x表示全班人数,当x取最大值时,全班人数就最多,当x
取最小值时,全班人数就最少。x是数学、语文、英语三科都得满
分的同学,因而x中的人数一定不超过两科得满分的人数,即
x7,x8

x9
,由此我们得到
x7
。另一方面x最小可能是0,
即没有三科都得满分的。
当x取最大值7时,全班有
(397)46
人,当x取最小值0时,
全班有
(390)
39人。
答:这个班最多有46人,最少有39人。
【模拟试题】(答题时间:30分钟)


1. 六年级共有96人,两种刊物每人至少订其中一种,有的人
订《少年报》,有的人订《数学报》,两种刊物都订的有多少人?
2. 小明和小龙两家合住一套房子,门厅、厨房和厕所为公用,在
登记住房面积时,两家登记表如下表(单位:平方米)
姓名
小明
小龙
居室
14
20
门厅
12
12
厨房
8
8
厕所
4
4
总面积
38
44
1
2
2
3
他们住的一套房子共有多少平方米?
3. 某班45名同学参加体育测试,其中百米得优者20人,跳远得
优者18人,又知百米、跳远都得优者7人,跳高、百米得优者6人,
跳高、跳远均得优者8人,跳高得优者22人,全班只有1名同学各
项都没达优秀,求三项都是优秀的人数。
4. 某班四年级时,五年级时和六年级时分别评出10名三好学生,
又知四、五年级连续三好生4人,五、六年级连续三好生3人,四
年级、六年级两年评上三好生的有5人,四、五、六三年没评过三
好生的有20人,问这个班最多有多少名同学,最少有多少名同学?


【试题答案】

1. 六年级共有96人,两种刊物每人至少订其中一种,有的人
订《少年报》,有的人订《数学报》,两种刊物都订的有多少人?
答:两种刊物都订的有16人。
2. 小明和小龙两家合住一套房子,门厅、厨房和厕所为公用,在
登记住房面积时,两家登记表如下表(单位:平方米)
姓名
小明
小龙
居室
14
20
门厅
12
12
厨房
8
8
厕所
4
4
总面积
38
44
1
2
2
3
他们住的一套房子共有多少平方米?
答:这套房子共有58平方米。
3. 某班45名同学参加体育测试,其中百米得优者20人,跳远得
优者18人,又知百米、跳远都得优者7人,跳高、百米得优者6人,
跳高、跳远均得优者8人,跳高得优者22人,全班只有1名同学各
项都没达优秀,求三项都是优秀的人数。
4. 某班四年级时,五年级时和六年级时分别评出10名三好学生,
又知四、五年级连续三好生4人,五、六年级连续三好生3人,四
年级、六年级两年评上三好生的有5人,四、五、六三年没评过三
好生的有20人,问这个班最多有多少名同学,最少有多少名同学?


设三年连续三好生人数为x人
全班人数
103543x20

……
全班人数
38x

x最大是3,最小是0
所以这个班最多有
(383)41
名同学,最少有
(380)
38名同学。

小学奥林匹克英语试题